2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵P=． (1)求a，b的值； (2)求正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=XTA*x为标准形，其中A*为A的伴随矩阵； (3)若kE+A*合同于单位矩阵，求k的取值范围．

设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵P=． (1)求a，b的值； (2)求正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=XTA*x为标准形，其中A*为A的伴随矩阵； (3)若kE+A*合同于单位矩阵，求k的取值范围．

admin2017-07-26  105
问题 设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵P=．
    (1)求a，b的值；
    (2)求正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=XTA*x为标准形，其中A*为A的伴随矩阵；
    (3)若kE+A*合同于单位矩阵，求k的取值范围．
选项
答案(1)由题设知，A有三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，P的三个列向量α1，α2，α3 为对应的三个特征向量，必定两两正交，于是 [*] 解得a=0，b=一2． (2)由Aαi=λiαi，知A*αi=[*]，即 一2，一1，2，且对应特征向量分别为αi=[*]．由于α1，α2，α3已两 两正交，只需将其单位化即可： η1=[*] 令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，通过正交变换x=Qy，有 f(x1，x2，x3)=xTA*x=yTQTA*Qy=yT[*]=一2y12+y22+y32． (3)kE+A*的特征值分别为k一2，k—1，k+2，kE+A*合同于单位矩阵的充要条件是：k一2＞0，k一1＞0，k+2＞0，即k应满足：k＞2．
解析
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考研数学三

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