设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵P=. (1)求a,b的值; (2)求正交变换x=Qy,化二次型f(x1,x2,x3)=XTA*x为标准形,其中A*为A的伴随矩阵; (3)若kE+A*合同于单位矩阵,求k的取值范围.

admin2017-07-26  68

问题 设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵P=
    (1)求a,b的值;
    (2)求正交变换x=Qy,化二次型f(x1,x2,x3)=XTA*x为标准形,其中A*为A的伴随矩阵;
    (3)若kE+A*合同于单位矩阵,求k的取值范围.

选项

答案(1)由题设知,A有三个特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一1,P的三个列向量α1,α2,α3 为对应的三个特征向量,必定两两正交,于是 [*] 解得a=0,b=一2. (2)由Aαiiαi,知A*αi=[*],即 一2,一1,2,且对应特征向量分别为αi=[*].由于α1,α2,α3已两 两正交,只需将其单位化即可: η1=[*] 令Q=[η1,η2,η3],则Q为正交矩阵,通过正交变换x=Qy,有 f(x1,x2,x3)=xTA*x=yTQTA*Qy=yT[*]=一2y12+y22+y32. (3)kE+A*的特征值分别为k一2,k—1,k+2,kE+A*合同于单位矩阵的充要条件是:k一2>0,k一1>0,k+2>0,即k应满足:k>2.

解析
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