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设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵P=. (1)求a,b的值; (2)求正交变换x=Qy,化二次型f(x1,x2,x3)=XTA*x为标准形,其中A*为A的伴随矩阵; (3)若kE+A*合同于单位矩阵,求k的取值范围.
设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵P=. (1)求a,b的值; (2)求正交变换x=Qy,化二次型f(x1,x2,x3)=XTA*x为标准形,其中A*为A的伴随矩阵; (3)若kE+A*合同于单位矩阵,求k的取值范围.
admin
2017-07-26
85
问题
设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵P=
.
(1)求a,b的值;
(2)求正交变换x=Qy,化二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
A
*
x为标准形,其中A
*
为A的伴随矩阵;
(3)若kE+A
*
合同于单位矩阵,求k的取值范围.
选项
答案
(1)由题设知,A有三个特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一1,P的三个列向量α
1
,α
2
,α
3
为对应的三个特征向量,必定两两正交,于是 [*] 解得a=0,b=一2. (2)由Aα
i
=λ
i
α
i
,知A
*
α
i
=[*],即 一2,一1,2,且对应特征向量分别为α
i
=[*].由于α
1
,α
2
,α
3
已两 两正交,只需将其单位化即可: η
1
=[*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,通过正交变换x=Qy,有 f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
A
*
x=y
T
Q
T
A
*
Qy=y
T
[*]=一2y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
. (3)kE+A
*
的特征值分别为k一2,k—1,k+2,kE+A
*
合同于单位矩阵的充要条件是:k一2>0,k一1>0,k+2>0,即k应满足:k>2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HgH4777K
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考研数学三
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