2. 考研
  3. 一页长方形白纸，要求印刷的面积为Dcm2，并使所留的页边距分别为：上部与下部的宽度之和为a+b=kcm，左部与右部的宽度之和为c+d=lcm(其中d、k、l均为已知常数)．试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的面积S为最小．

一页长方形白纸，要求印刷的面积为Dcm2，并使所留的页边距分别为：上部与下部的宽度之和为a+b=kcm，左部与右部的宽度之和为c+d=lcm(其中d、k、l均为已知常数)．试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的面积S为最小．

admin2017-05-31  41
问题 一页长方形白纸，要求印刷的面积为Dcm2，并使所留的页边距分别为：上部与下部的宽度之和为a+b=kcm，左部与右部的宽度之和为c+d=lcm(其中d、k、l均为已知常数)．试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的面积S为最小．
选项
答案如图1—7—2所示， [*] 由题意知，其目标函数为S=xy，且x>l，y>k，约束条件为(x—l)(y一k)=C 不妨设拉格朗日函数为L(x，y，λ)=xy+λ(x—l)(y—k)一D](x>l，y>k)． [*] 代入到约束条件中，得Dλ2+2Dλ+(D—kl)=0．为了满足条件x>l，y>k，则应取[*] 由实际意义知，当x→l+时，y→+∞；同理当y→k+时，x→+∞．这都导致目标函数为S=xy→+∞． 所以，这个条件极值问题是不存在最大值的，故上述的驻点就是所求的解．
解析 本题是条件极值的问题，应用拉格朗日乘子法求解．
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考研数学一

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