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(2005年试题,18)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: 存在两个不同的点η,ξ∈(0,1),使得f’(η)f’(ξ)=1.
(2005年试题,18)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: 存在两个不同的点η,ξ∈(0,1),使得f’(η)f’(ξ)=1.
admin
2013-12-27
71
问题
(2005年试题,18)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
存在两个不同的点η,ξ∈(0,1),使得f
’
(η)f
’
(ξ)=1.
选项
答案
根据(I)的结果可知,在[0,ξ]上用拉格朗日中值定理知,[*]η∈(0,ξ),使得[*]在[ξ,1]上,用拉格朗日中值定理可知[*]ζ∈(ξ,1),使得[*].由此得f
’
(η).f
’
(ζ)=1.
解析
许多考生第(Ⅱ)问的证明思路是:根据拉格朗日中值定理,存在η∈(0,1),使得f
’
,
在此基础上,再找ζ∈(0,1),使得.f
’
(ζ)=1,从而得到f
’
(η)f
’
(ζ)=1.此证明思路明显是错误的,请考生指出错在哪里?
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/c354777K
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考研数学一
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