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设I=∮Ly3dx+(3x-x3)dy,其中C为正向圆周x2+y2=a2(a>0),问a为何值时I最大?并求出此最大值.
设I=∮Ly3dx+(3x-x3)dy,其中C为正向圆周x2+y2=a2(a>0),问a为何值时I最大?并求出此最大值.
admin
2023-03-22
30
问题
设I=∮
L
y
3
dx+(3x-x
3
)dy,其中C为正向圆周x
2
+y
2
=a
2
(a>0),问a为何值时I最大?并求出此最大值.
选项
答案
由格林公式得 I=[*](3-3x
2
-3y
2
)dxdy=∫
0
2π
dθ∫
0
a
(3-3ρ
2
)ρdρ =[*](a>0) 令dI/da=2π(3a-3a
3
),得驻点a=1.而 [*]=6π-18πa
2
,[*]|
a=1
=-12π<0, 所以a=1是唯一的极大值点,从而是最大值点,最大值为I(1)=3π/2.
解析
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考研数学一
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