n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

admin2019-03-14  28

问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的(    )

选项 A、充分必要条件.
B、必要而非充分条件.
C、充分而非必要条件.
D、既非充分也非必要条件.

答案B

解析 由A一B,即存在可逆矩阵P,使P一1AP=B,故|λE一B|=|λE一P一1AP|=|P一1(λE一A)P|=|P一1||λE一A||P|=|λE一A|,即A与B有相同的特征值.但当A,B有相同特征值时,A与B不一定相似,虽然A,B有相同的特征值λ12=0,但由于r(A)≠r(B),A,B不可能相似.所以,相似的必要条件是A,B有相同的特征值.所以应选B.
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