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设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α2,Ak-1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α2,Ak-1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
admin
2017-01-13
68
问题
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A
k
x=0有解向量α
2
,A
k-1
α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A
k-1
α是线性无关的。
选项
答案
设有常数λ
0
,λ
1
,…,λ
k-1
,使得λ
0
α+λ
1
Aα+…+λ
k-1
A
k-1
α=0,则有 A
k-1
(λ
0
α+α
1
Aα+…+λ
k-1
A
k-1
α)=0,从而得到λ
0
A
k-1
α=0。由题设A
k-1
α≠0,所以λ
0
=0。类似地可以证明λ
1
=λ
2
=…=λ
k-1
=0,因此向量组α,Aα,…,A
k-1
α是线性无关的。
解析
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0
考研数学二
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