2. 考研
  3. 证明：(Ⅰ)对任意正整数n，都有成立； (Ⅱ)设，证明{an}收敛。

证明：(Ⅰ)对任意正整数n，都有成立； (Ⅱ)设，证明{an}收敛。

admin2017-01-14  65
问题 证明：(Ⅰ)对任意正整数n，都有成立；
(Ⅱ)设，证明{an}收敛。
选项
答案(Ⅰ)令[*]=x，则原不等式可化为 [*] 先证明ln(1+x)＜x，x＞0。 令f(x)=x-ln(1+x)。由于 [*] 可知f(x)在0，+∞)上单调递增。又由于f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0。也即 ln(1+x)＜x，x＞0。 再证明[*]＜ln(1+x)，x＞0。 令g(x)=ln(1+x)-[*]。由于 [*] 可知g(x)在[0，+∞)上单调递增。又因g(0)=0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)=0。即 [*] 再代入[*]，即可得到所需证明的不等式。 [*] 因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。
解析
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考研数学一

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