证明:(Ⅰ)对任意正整数n,都有成立; (Ⅱ)设,证明{an}收敛。

admin2017-01-14  43

问题 证明:(Ⅰ)对任意正整数n,都有成立;
(Ⅱ)设,证明{an}收敛。

选项

答案(Ⅰ)令[*]=x,则原不等式可化为 [*] 先证明ln(1+x)<x,x>0。 令f(x)=x-ln(1+x)。由于 [*] 可知f(x)在0,+∞)上单调递增。又由于f(0)=0,所以当x>0时f(x)>f(0)=0。也即 ln(1+x)<x,x>0。 再证明[*]<ln(1+x),x>0。 令g(x)=ln(1+x)-[*]。由于 [*] 可知g(x)在[0,+∞)上单调递增。又因g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>g(0)=0。即 [*] 再代入[*],即可得到所需证明的不等式。 [*] 因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。

解析
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