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设A是n阶矩阵,ξ1,ξ2,…,ξt是齐次方程组Ax=0的基础解系,若存在ηi(i=1,2,…,t),使Aηi=ξi,证明:向量组ξ1,ξ2,…,ξt,η1,η2,…,ηt线性无关.
设A是n阶矩阵,ξ1,ξ2,…,ξt是齐次方程组Ax=0的基础解系,若存在ηi(i=1,2,…,t),使Aηi=ξi,证明:向量组ξ1,ξ2,…,ξt,η1,η2,…,ηt线性无关.
admin
2017-07-26
60
问题
设A是n阶矩阵,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
t
是齐次方程组Ax=0的基础解系,若存在η
i
(i=1,2,…,t),使Aη
i
=ξ
i
,证明:向量组ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
t
,η
1
,η
2
,…,η
t
线性无关.
选项
答案
如果 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
t
ξ
t
+l
1
η
1
+l
2
η
2
+…+l
t
η
t
=0 ① 用A左乘上式,并把Aξ
i
=0,Aη
i
=ξ
i
,i=1,2,…,t代入,得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
t
ξ
t
=0. ② 因为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
t
是Ax=0的基础解系,它们线性无关,故对②必有 l
1
=0,l
2
=0,…,l
t
=0. 代入①式,有k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
t
ξ
t
=0. 所以必有 k
1
=0,k
2
=0,…,k
t
=0. 即向量组ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
t
,η
1
,η
2
,…,η
t
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HyH4777K
0
考研数学三
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