2. 考研
  3. 设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 （Ⅰ）求A； （Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 （Ⅰ）求A； （Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-21  81
问题 设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。
选项
答案（Ⅰ）由题意知QTAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQT，设Q的其他任一列向量为 （x1，x2，x3）T 。因为Q为正交矩阵，所以 （x1，x2，x3）[*] 即x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α1=（—1，0，1）T，α2=（0，1，0）T。把α1单位化得β1=[*]（—1，0，1）T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）T=AT+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。 又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。
解析
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考研数学三

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