设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-21 59

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案（Ⅰ）由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为（x₁，x₂，x₃）^T 。因为Q为正交矩阵，所以（x₁，x₂，x₃）[*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=（—1，0，1）^T，α₂=（0，1，0）^T。把α₁单位化得β₁=[*]（—1，0，1）^T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学三

已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型，则a的取值范围________.

已知函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，f(1，1)=2是f(u，v)的极值，z=f(x+y,f(x,y)).求

设总体X的概率密度为而X1，X2…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_________．

设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=1，λ2＝2，λ3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为求Anβ．

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设B＝(β1，β2，β3)，其βi(i＝1，2，3)为三维列向量，由于B≠0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设β1≠0，由于AB＝A(β1，β1，β3)＝(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=0，→Aβ1＝0，即β1为齐次线性方程组AX＝0的非零解，于是系数矩阵的

将函数f(x)＝ln(1－x－2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．

曲线y=xe1/x2

设数列{an}，{bn}满足ean=ean一an(n=1，2，3，…)，求证：若an>0(17,=1，2，3，…)，收敛，则收敛．

设(I)求证：f(x)在[0，+∞)上连续；(Ⅱ)求f(x)在[0，+∞)的单调性区间；(III)求f(x)在[0，+∞)的最大值与最小值．

牙体修复是一项生物性治疗技术，备洞时，洞侧壁的釉质壁必须与釉柱方向

A．隐性感染B．急性(病原消灭型)感染C．慢性感染D．潜伏感染E．慢发病毒感染乙型肝炎病毒常发生

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建筑安装工程费用由()构成。

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可转换证券的内在价值，是指将可转换证券转股前的利息收入和转股时的转换价值按适当的必要收益率折算的现值。()

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•YouwillhearpartofabusinessnegotiationbetweenMr.MitchellandMadamLi.•Foreachquestion23—30,markoneletterA,B

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