设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-21 53

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案（Ⅰ）由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为（x₁，x₂，x₃）^T 。因为Q为正交矩阵，所以（x₁，x₂，x₃）[*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=（—1，0，1）^T，α₂=（0，1，0）^T。把α₁单位化得β₁=[*]（—1，0，1）^T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学三

已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

设u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定：求du/dx.

设4维向量组α1=(1＋a，1，1，1)T，α2＝(2，2＋a，2，2)T，α3＝(3，3，3＋a，3)T，α4＝(4，4，4，4＋a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

利用求复合函数偏导的方法，得[*]

已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak＝0，试证明矩阵E－A可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵)．

设A是n阶方阵，线性方程组AX＝0有非零解，则线性非齐次方程组ATX＝b对任何b＝(b1，b2，…，bn)T()．

设矩阵A满足A2+A-4E=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=_______.

设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=X-0．4，则Y与Z的相关系数为____________.

二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.

设求

日本《明治宪法》规定天皇为国家元首，其享有权利包括____、_、、_____。

导致躖趾背伸力弱的是导致躖趾跖屈力弱的是

患者，女性，35岁。患慢性肾炎已4年，加重伴少尿1周。血压180／100mmHg，内生肌酐清除率8．7ml／min，诊断为慢性肾小球肾炎慢性肾衰竭尿毒症期。如果检查的结果如下，哪一项是最高危的结果：

依据《建设工程质量管理条例》的规定，()在建设工程竣工验收后，应及时向建设行政主管部门或者其他有关部门移交建设项目档案。

工作流程组织是组织论的基本内容，下列各项中，不属于其内容的是()。

TN系统用于配电变压器低压中性点（）的配电系统。

下列原始凭证中，属于通用凭证的是()。

计算其中L为由点A(2，0)沿心形线r=1+cosθ上侧到原点的有向曲线段．

使用SQL语句将职工表中年龄＞60的职工记录删除，正确的命令是______。

SigmundFreudwasaworld-famousdoctorofVienna(维也纳).Hewasalsoamanfullofhumour(幽默).Once,athis70thbirthdayparty

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已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

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设4维向量组α1=(1＋a，1，1，1)T，α2＝(2，2＋a，2，2)T，α3＝(3，3，3＋a，3)T，α4＝(4，4，4，4＋a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

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二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.

设求

日本《明治宪法》规定天皇为国家元首，其享有权利包括________、_________、________、_________。

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患者，女性，35岁。患慢性肾炎已4年，加重伴少尿1周。血压180／100mmHg，内生肌酐清除率8．7ml／min，诊断为慢性肾小球肾炎慢性肾衰竭尿毒症期。如果检查的结果如下，哪一项是最高危的结果：

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计算其中L为由点A(2，0)沿心形线r=1+cosθ上侧到原点的有向曲线段．

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