设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-21 55

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案（Ⅰ）由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为（x₁，x₂，x₃）^T 。因为Q为正交矩阵，所以（x₁，x₂，x₃）[*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=（—1，0，1）^T，α₂=（0，1，0）^T。把α₁单位化得β₁=[*]（—1，0，1）^T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学三

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且试证：若f(x)为单调不增，则F(x)单调不减．

设z=z(x，y)是由方程x2+y2-z=φ(x+Y+z)所确定的函数，其中φ具有二阶导数，且φ’≠-1．(I)求dz；

当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．

曲线的切线与x轴和y，轴围成一个图形，记切点的横坐标为α试求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?

设总体X的概率密度为F(x)＝1／2e－｜x｜(－∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差S2，则E(S2)＝__________．

若x→0时，(1－ax2)1／4－1与xsinx的等价无穷小，则a＝__________．

下列函数在指定区间上是否存在最大值和最小值?如有，求出它的值，并说明是最大值还是最小值：

已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则()。

设f(x，y)在(x0，y0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x0，y0)+n(x一x0)+b(y—y0)+。(p)(p→o)，其中a，b为常数，，则

设求n及a的值．

在坐标图上，表示收入和消费关系的45°线意味着()

下列哪种情况下动脉CO2分压降低?

针灸治疗惊悸怔忡的基本处方是针灸治疗水饮内停证之惊悸怔忡的配穴是

设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自该总体的样本，则未知参数θ的最大似然估计量是()。

国际收支下的经常项目包括()。

A．黄色黏稠脓液B．淡黄稀薄脓液C．翠绿色、稍黏稠、有酸臭味的脓液D．灰白或灰褐色、有明显腐败坏死臭味的脓液E．稀薄污浊、暗灰色米汤样、夹杂干酪样坏死物的脓液金黄色葡萄球菌感染形成的脓液为()。

警察甲因为公民吴某举报自己受贿而怀恨在心，遂用他人手机向某军官发了一条短信，捏造吴某与其妻同居的事实，该军官信任自己妻子未予理睬，甲的行为构成()。(2012一专一9)

InBritain,highschoolstudentscanrunabusiness!Eachbusinessrunsforoneyear.Whentheystarttheirbusiness,theyborro

设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 （Ⅰ）求A； （Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且试证：若f(x)为单调不增，则F(x)单调不减．

设z=z(x，y)是由方程x2+y2-z=φ(x+Y+z)所确定的函数，其中φ具有二阶导数，且φ’≠-1．(I)求dz；

当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．

曲线的切线与x轴和y，轴围成一个图形，记切点的横坐标为α试求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?

设总体X的概率密度为F(x)＝1／2e－｜x｜(－∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差S2，则E(S2)＝__________．

若x→0时，(1－ax2)1／4－1与xsinx的等价无穷小，则a＝__________．

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已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则()。

设f(x，y)在(x0，y0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x0，y0)+n(x一x0)+b(y—y0)+。(p)(p→o)，其中a，b为常数，，则

设求n及a的值．

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警察甲因为公民吴某举报自己受贿而怀恨在心，遂用他人手机向某军官发了一条短信，捏造吴某与其妻同居的事实，该军官信任自己妻子未予理睬，甲的行为构成()。(2012一专一9)

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