2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy。

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy。

admin2018-04-14  130
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy。
选项
答案将二重积分[*]xyf"xy(x，y)dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf"xy(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyf"xy(x，y、)dx。 首先考虑∫01xyf"xy(x，y)dx，注意这里是把变量y看做常数的，故有 ∫01xyf"xy(x，y)dx=y∫01xdf’y(x，y)=xyf’y(x，y)|01－∫01yf’y(x，y)dx =yf’y(1，y)－∫01yf’y(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知f’y(1，y)=f’x(x，1)=0。 故 ∫01xyf"xy(x，y)dx=－∫01yf’y(x，y)dx， [*]xyf"xy(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyf"xy(x，y)dx=－∫01dy∫01yf’y(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 －∫01dy∫01yf’y(x，y)dx=－∫01dx∫01yf’y(x，y)dy。 再考虑积分∫01yf’y(x，y)dy，注意这里是把变量x看作常数的，故有 ∫01yf’y(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)|01－∫01f(x，y)dy=－∫01f(x，y)dy。 因此 [*]xyf"xy(x，y)dxdy=－∫01dx∫01代0t，小dxdyyf’y(x，y)dy=∫01dx∫01f(x，y)dy=[*]f(x，y)dxdy=a。
解析
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考研数学二

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