设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．

admin2016-10-13 41

问题设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(1)将x=x(y)所满足的微分方程

=0变换为y=y(x)所满足的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=

的解．

选项

答案[*] 代入原方程得y"一y=sinx，特征方程为r²一1=0，特征根为r_1，2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y^*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=一[*]sinx，于是方程的通解为y=C₁e^x+C₂e^-x一[*]sinx，由初始条件得C₁=1，C₂=一1，满足初始条，件的特解为y=e^-x—e^-x一[*]sinx．

解析

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