2. 考研
  3. 设α，β为四维非零的正交向量，且A＝αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )．

设α，β为四维非零的正交向量，且A＝αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )．

admin2014-12-09  42
问题 设α，β为四维非零的正交向量，且A＝αβT，则A的线性无关的特征向量个数为(    )．
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案C
解析 令AX＝λX，则A2X＝λ2X，因为α，β正交，所以αTβ＝βTα＝0，A2＝αβT.αβT＝0，于是λ2X＝0，故λ1＝λ2＝λ3＝λ4＝0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．
    因为4－r(OE－A)＝4－r(A)＝3．所以A的线性无关的特征向量是3个，选C．
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考研数学二

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