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设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).证明: 存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0.
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).证明: 存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0.
admin
2015-06-30
27
问题
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫
0
2
f(t)dt=f(2)+f(3).证明:
存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0.
选项
答案
令φ(x)=e
-2x
f’(x),φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,3),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e
-2x
[f"(x)-2f’(x)]且e
-2x
≠0,故f"(ξ)-2f’(ξ)=0.
解析
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0
考研数学二
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