设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－f(t)dt＝0． (1)求f′(χ)； (2)证明：当χ≥0时，e－χ≤f(χ)≤1．

admin2017-09-15 83

问题设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－

f(t)dt＝0．
(1)求f′(χ)；
(2)证明：当χ≥0时，e^－χ≤f(χ)≤1．

选项

答案(1)(χ＋1)f′(χ)＋(χ＋1)f(χ)－∫₀^χf(t)dt＝0，两边求导数，得 (χ＋1)f〞(χ)＝－(χ＋2)f′(χ)[*] 再由f(0)＝1，f′(o)＋f(0)＝0，得f′(0)＝－1，所以C＝－1，于是f′(χ)＝－[*]． (2)当χ≥0时，因为f′(χ)＜0且f(0)＝1，所以f(χ)≤f(0)＝1．令g(χ)＝f(χ)－e^－χ，g(0)＝0，g′(χ)＝f′(χ)＋e^－χ＝[*]e^－χ≥0，由[*]f(χ)≥e^－χ(χ≥0)．

解析

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