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设函数f(χ)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(χ)+f(χ)-f(t)dt=0. (1)求f′(χ); (2)证明:当χ≥0时,e-χ≤f(χ)≤1.
设函数f(χ)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(χ)+f(χ)-f(t)dt=0. (1)求f′(χ); (2)证明:当χ≥0时,e-χ≤f(χ)≤1.
admin
2017-09-15
72
问题
设函数f(χ)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(χ)+f(χ)-
f(t)dt=0.
(1)求f′(χ);
(2)证明:当χ≥0时,e
-χ
≤f(χ)≤1.
选项
答案
(1)(χ+1)f′(χ)+(χ+1)f(χ)-∫
0
χ
f(t)dt=0,两边求导数,得 (χ+1)f〞(χ)=-(χ+2)f′(χ)[*] 再由f(0)=1,f′(o)+f(0)=0,得f′(0)=-1,所以C=-1,于是f′(χ)=-[*]. (2)当χ≥0时,因为f′(χ)<0且f(0)=1,所以f(χ)≤f(0)=1. 令g(χ)=f(χ)-e
-χ
,g(0)=0,g′(χ)=f′(χ)+e
-χ
=[*]e
-χ
≥0, 由[*]f(χ)≥e
-χ
(χ≥0).
解析
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考研数学二
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