设函数f(χ)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(χ)+f(χ)-f(t)dt=0. (1)求f′(χ); (2)证明:当χ≥0时,e-χ≤f(χ)≤1.

admin2017-09-15  72

问题 设函数f(χ)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(χ)+f(χ)-f(t)dt=0.
    (1)求f′(χ);
    (2)证明:当χ≥0时,e-χ≤f(χ)≤1.

选项

答案(1)(χ+1)f′(χ)+(χ+1)f(χ)-∫0χf(t)dt=0,两边求导数,得 (χ+1)f〞(χ)=-(χ+2)f′(χ)[*] 再由f(0)=1,f′(o)+f(0)=0,得f′(0)=-1,所以C=-1,于是f′(χ)=-[*]. (2)当χ≥0时,因为f′(χ)<0且f(0)=1,所以f(χ)≤f(0)=1. 令g(χ)=f(χ)-e-χ,g(0)=0,g′(χ)=f′(χ)+e-χ=[*]e-χ≥0, 由[*]f(χ)≥e-χ(χ≥0).

解析
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