设在上半平面D={(x，y)|y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t－2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

admin2018-12-27 82

问题设在上半平面D={(x，y)|y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t^－2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

选项

答案在方程f(tx，ty)=t⁰²f(x，y)两边对t求导得 xf₁’(tx，ty)+yf₂’(tx，ty)= －2t^-3f(x，y)，令t=1，则有 xf₁’(x，y)+yf₂’(x，y)= －2f(x，y)。 (*) 设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)= －xf(x，y)，则 [*] 根据(*)式可得[*] 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 [*]

解析

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考研数学一

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