2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且|f’(x)|＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 |f(x1)－f(x2)|＜．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且|f’(x)|＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 |f(x1)－f(x2)|＜．

admin2019-02-20  27
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且|f’(x)|＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有
    |f(x1)－f(x2)|＜．
选项
答案联系f(x1)-f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x1≤x2≤1．分两种情形： 1)若x2-x1＜[*]直接用拉格朗日中值定理得 |f(x1)－f(x2)|=|f’(ξ)(x2－x1)|=|f’(ξ)||x2－x1|＜[*] 2)若x2－x1≥[*]当01＜x2＜1时，利用条件f(x)=f(1)分别在[0，x1]与[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得 |f(x1)－f(x2)|=|[f(x1)－f(0)]－[f(x2)－f(1)]| ≤|f(x1)－f(0)|+|f(1)－f(x2)| =|f’(ξ)x1+|f’(η)(1－x2)| ＜x1+(1－x2)=1－(x2－x1)≤[*] ①当x1=0且[*]时，有 |f(x1)－f(x2)|=|f(0)－f(x2)|=|f(1)－f(x2)|=|f’(η)(1－x2|＜[*] ②当[*]且x2=1时，同样有 |f(x1)－f(x2)|=|f(x1)－f(1)|=|f(x1)－f(0)|=|f’(ξ)(x1－0)|＜[*] 因此对于任何x1，x2∈[0，1]总有 |f(x1)－f(x2)|＜[*]
解析
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考研数学三

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