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设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且|f’(x)|＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 |f(x1)－f(x2)|＜．
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且|f’(x)|＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 |f(x1)－f(x2)|＜．
admin
2019-02-20
39
问题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且|f’(x)|＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于
x
1
，x
2
∈[0，1]，有
|f(x
1
)－f(x
2
)|＜
．
选项
答案
联系f(x
1
)-f(x
2
)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x
1
≤x
2
≤1．分两种情形： 1)若x
2
-x
1
＜[*]直接用拉格朗日中值定理得 |f(x
1
)－f(x
2
)|=|f’(ξ)(x
2
－x
1
)|=|f’(ξ)||x
2
－x
1
|＜[*] 2)若x
2
－x
1
≥[*]当0
1＜x
2
＜1时，利用条件f(x)=f(1)分别在[0，x
1
]与[x
2
，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x
1
)，η∈(x
2
，1)使得 |f(x
1
)－f(x
2
)|=|[f(x
1
)－f(0)]－[f(x
2
)－f(1)]| ≤|f(x
1
)－f(0)|+|f(1)－f(x
2
)| =|f’(ξ)x
1
+|f’(η)(1－x
2
)| ＜x
1
+(1－x
2
)=1－(x
2
－x
1
)≤[*] ①当x
1
=0且[*]时，有 |f(x
1
)－f(x
2
)|=|f(0)－f(x
2
)|=|f(1)－f(x
2
)|=|f’(η)(1－x
2
|＜[*] ②当[*]且x
2
=1时，同样有 |f(x
1
)－f(x
2
)|=|f(x
1
)－f(1)|=|f(x
1
)－f(0)|=|f’(ξ)(x
1
－0)|＜[*] 因此对于任何x
1
，x
2
∈[0，1]总有 |f(x
1
)－f(x
2
)|＜[*]
解析
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考研数学三
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