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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于x1,x2∈[0,1],有 |f(x1)-f(x2)|<.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于x1,x2∈[0,1],有 |f(x1)-f(x2)|<.
admin
2019-02-20
15
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f’(x)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于
x
1
,x
2
∈[0,1],有
|f(x
1
)-f(x
2
)|<
.
选项
答案
联系f(x
1
)-f(x
2
)与f’(x)的是拉格朗日中值定理.不妨设0≤x
1
≤x
2
≤1.分两种情形: 1)若x
2
-x
1
<[*]直接用拉格朗日中值定理得 |f(x
1
)-f(x
2
)|=|f’(ξ)(x
2
-x
1
)|=|f’(ξ)||x
2
-x
1
|<[*] 2)若x
2
-x
1
≥[*]当0
1<x
2
<1时,利用条件f(x)=f(1)分别在[0,x
1
]与[x
2
,1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0,x
1
),η∈(x
2
,1)使得 |f(x
1
)-f(x
2
)|=|[f(x
1
)-f(0)]-[f(x
2
)-f(1)]| ≤|f(x
1
)-f(0)|+|f(1)-f(x
2
)| =|f’(ξ)x
1
+|f’(η)(1-x
2
)| <x
1
+(1-x
2
)=1-(x
2
-x
1
)≤[*] ①当x
1
=0且[*]时,有 |f(x
1
)-f(x
2
)|=|f(0)-f(x
2
)|=|f(1)-f(x
2
)|=|f’(η)(1-x
2
|<[*] ②当[*]且x
2
=1时,同样有 |f(x
1
)-f(x
2
)|=|f(x
1
)-f(1)|=|f(x
1
)-f(0)|=|f’(ξ)(x
1
-0)|<[*] 因此对于任何x
1
,x
2
∈[0,1]总有 |f(x
1
)-f(x
2
)|<[*]
解析
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考研数学三
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