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设A是三阶可逆矩阵．如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=_____________．
设A是三阶可逆矩阵．如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=_____________．
admin
2016-11-03
54
问题
设A是三阶可逆矩阵．如果A
－1
的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A
11
+A
22
+A
33
=_____________．
选项
答案
1
解析
A
ii
(i=1，2，3)为伴随矩阵A
*
的主对角线上的元素，其和A
11
+A
22
+A
33
恰等于A
*
的迹，即tr(A
*
)=A
11
+A
22
+A
33
．
但矩阵的迹又等于其特征值之和，于是归结求出A
*
的特征值．其求法有两种方法．
方法一 由题设知，A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=1／2，λ
3
=1／3，于是｜A｜=λ
1
λ
2
λ
3
=1／6，则A
*
的特征值分别为
则 A
11
+A
22
+A
33
=tr(A
*
)=λ
1
*
+λ
2
*
+λ
3
*
=1／6+1／3+1／2=1．
方法二 由AA
*
=｜A｜E=(1／6)E，即(6A)A
*
=E，得到
A
*
=(6A)
－1
=(1／6)A
－1
．
由A
－1
的特征值为1，2，3，得到A
*
的三个特征值分别为
λ
1
*
=(1／6).1=1／6， λ
2
*
=(1／6).2=1／3， λ
3
*
(1／6).3=1／2，
故 A
11
+A
22
+A
33
=λ
1
*
+λ
2
*
+λ
3
*
=1／6+1／3+1／2=1．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IHu4777K
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考研数学一
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