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  3. 设X是一随机变量，且E(X)=μ，D(X)=σ2(μ，σ>0为常数)，则对于任意常数C，必有( )

设X是一随机变量，且E(X)=μ，D(X)=σ2(μ，σ>0为常数)，则对于任意常数C，必有( )

admin2020-03-24  39
问题 设X是一随机变量，且E(X)=μ，D(X)=σ2(μ，σ>0为常数)，则对于任意常数C，必有(    )
选项 A、E[(X－C)2]=E(X2)－C2．
B、E[(X－C)2]=E[(X-μ)2]．
C、E[(X－C)2]2]．
D、E[(X－C)2]≥E[(X-μ)2]．
答案D
解析 令g(C)=E[(X－C)2]，于是
         g(C)=E(X2一2CX+C2)=E(X2)－2CE(X)+C2=σ2+μ2-2μC+C2，
               g′(C)=－2μ+2C，  g"(C)=2＞0．
令g′(C)=0，得唯一驻点C=μ，因此函数g(C)在C=μ处取得最小值g(μ)=E[(X－μ)2]，即
          E[(X－C)2]≥E[(X－μ)2]．
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考研数学三

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