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设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n). 二次型f(x1,x2,…,xn)= (1)记X=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n). 二次型f(x1,x2,…,xn)= (1)记X=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)
admin
2018-11-11
56
问题
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
n×n
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,…,n).
二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
(1)记X=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
,把f(x
1
,x
2
,…,x
n
)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)的矩阵为A
一1
;
(2)二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
选项
答案
(1)f(X)=(x
1
, x
2
,…,x
n
)[*] 因秩(A)=n,故A可逆,且A
一1
=[*]A
*
,从而(A
一1
)
T
=(A
T
)
一1
=A
一1
,故A
一1
也是实对称矩阵,因此二次型f(X)的矩阵为 [*] (2)因为(A
一1
)
T
AA
一1
= (A
T
)
一1
E=A
一1
,所以A与A
一1
合同,于是g(X)与f(X)有相同的规范形.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HJj4777K
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考研数学二
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