设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)．二次型f(x1，x2，…，xn)= (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)

admin2018-11-11 101

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_n×n中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)．
二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=

(1)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把f(x₁，x₂，…，x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A^一1；
(2)二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由．

选项

答案(1)f(X)=(x₁， x₂ ，…，x_n)[*] 因秩(A)=n，故A可逆，且A^一1=[*]A^*，从而(A^一1)^T=(A^T)^一1=A^一1，故A^一1也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为 [*] (2)因为(A^一1)^TAA^一1= (A^T)^一1E=A^一1，所以A与A^一1合同，于是g(X)与f(X)有相同的规范形．

解析

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考研数学二

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设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)．二次型f(x1，x2，…，xn)= (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)

考研数学二

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

求直线绕z轴旋转而成的旋转曲面方程，并问a、b不同时为零时，该曲面为何种曲面?

已知矩阵A与B相似，其中求正交矩阵Q，使得Q一1AQ=B．

设矩阵其行列式｜A｜=一1，又A的伴随矩阵A有一个特征值λ0，A的属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c和λ0的值．

求一组向量α1，α2，使之与α3=(1，1，1)T成为R3的正交基；并把α1,α2,α3化成R3的一个标准正交基．

求下列可降阶的高阶微分方程的通解．(1)x2y”=(y’)2+2xy’；(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)；(3)1+yy”+(y’)2=0；(4)y”=1+(y’)2．

(1998年)求函数f(χ)＝在区间(0，2π)内的间断点，并判断其类型．

设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=_______

过点(1／2，0)且满足关系式y’arcsinx+=1的曲线方程为_______。

根据《刑法》的规定，下列可以适用死刑的情形是（）。

患者女，56岁。因肉眼血尿就诊，行肾脏彩超及CT发现右肾实质性占位，大小约3cm，左肾结石，轻度肾盂积水。该患者适合的手术方式是

患者男，30岁。1年前下岗。近5个月来觉得邻居都在议论他，常不怀好意地盯着他，有时对着窗外大骂，自语、自笑，整天闭门，拨打110电话要求保护。该病例最可能的诊断是

发行人发行人民币债券所筹集的资金，可换成外汇转移至境外。(　　)

在公司稳定增长阶段，适宜采用低正常股利加额外股利政策。()

某些特色突出或极具个性化的饭店，若自身条件与星级评定标准规定的条件有所区别，则()。

黄某经营一店铺，由于经营不善，欠他人债务6000元。黄某在临死之前立自书遗嘱，将自己的全部财产4000元均等地分给了独子和一个老朋友，二人均表示接受。那么，关于黄某6000元债务的清偿，表述正确的是()。

实施可持续发展战略，必须坚持()协调统一发展的原则。

PassageThreeWhyarethecontrolsofamoderncarcriticized?

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设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=_______

过点(1／2，0)且满足关系式y’arcsinx+=1的曲线方程为_______。

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