2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，E+A可逆，其中E是n阶单位矩阵．证明： (Ⅰ)(E—A)(E+A)-1=(E+A)-1(E—A)； (Ⅱ)若A是反对称矩阵，则(E一A)(E+A)-1是正交矩阵； (Ⅲ)若A是正交矩阵，则(E—A)(E+A)-1是

设A是n阶矩阵，E+A可逆，其中E是n阶单位矩阵．证明： (Ⅰ)(E—A)(E+A)-1=(E+A)-1(E—A)； (Ⅱ)若A是反对称矩阵，则(E一A)(E+A)-1是正交矩阵； (Ⅲ)若A是正交矩阵，则(E—A)(E+A)-1是

admin2020-02-28  57
问题 设A是n阶矩阵，E+A可逆，其中E是n阶单位矩阵．证明：
    (Ⅰ)(E—A)(E+A)-1=(E+A)-1(E—A)；
    (Ⅱ)若A是反对称矩阵，则(E一A)(E+A)-1是正交矩阵；
    (Ⅲ)若A是正交矩阵，则(E—A)(E+A)-1是反对称矩阵．
选项
答案利用反对称矩阵及正交矩阵的定义AT=一A及AAT=ATA=E证之． 证 (Ⅰ)因(E—A)(E+A)=E一A2=(E+A)(E—A)， 在上式两边分别左乘、右乘(E+A)-1得到 (E+A)-1(E—A)(E+A)(E+A)-1=(E+A)-1(E+A)(E—A)(E+A)-1， 即 (E+A)-1(E—A)=(E一A)(E+A)-1． (Ⅱ)下证[(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T=E．事实上，由AT=一A得到 [(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T =[(E—A)(E+A)-1][(E+A)-1]T(E—A)T =(E—A)(E+A)-1(E—A)-1(E+A) =(E+A)-1(E—A)(E—A)-1(E+A)， (利用(1)的结果(E—A)(E+A)-1=(E+A)(E—A))=E·E=E．) 故(E—A)(E+A)-1为正交矩阵． (Ⅲ)下证[(E—A)(E+A)-1]T=一(E一A)(E+A)-1．利用AAT=ATA=E及-1=AT 得到 [(E—A)(E+A)-1]T=[(E+A)-1]T(E一A)T=[(E+A)T]-1(E—AT) =(E+AT)-1(E—AT)=(E+A-1)-1(E一A-1)=(A-1A+A-1)-1(E—A-1) =[A-1(A+E)]-1(E—A-1)=(A+E)-1A(E—A-1) =(A+E)-1(A—E)=一(A+E)-1(E—A)=一(E—A)(E+A)-1， (利用(Ⅰ)的结果(E+A)-1(E—A)=(E—A)(E+A)-1) 故(E—A)(E+A)-1为反对称矩阵．
解析
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考研数学二

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