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设A是n阶矩阵，E+A可逆，其中E是n阶单位矩阵．证明： (Ⅰ)(E—A)(E+A)-1=(E+A)-1(E—A)； (Ⅱ)若A是反对称矩阵，则(E一A)(E+A)-1是正交矩阵； (Ⅲ)若A是正交矩阵，则(E—A)(E+A)-1是
设A是n阶矩阵，E+A可逆，其中E是n阶单位矩阵．证明： (Ⅰ)(E—A)(E+A)-1=(E+A)-1(E—A)； (Ⅱ)若A是反对称矩阵，则(E一A)(E+A)-1是正交矩阵； (Ⅲ)若A是正交矩阵，则(E—A)(E+A)-1是
admin
2020-02-28
51
问题
设A是n阶矩阵，E+A可逆，其中E是n阶单位矩阵．证明：
(Ⅰ)(E—A)(E+A)
-1
=(E+A)
-1
(E—A)；
(Ⅱ)若A是反对称矩阵，则(E一A)(E+A)
-1
是正交矩阵；
(Ⅲ)若A是正交矩阵，则(E—A)(E+A)
-1
是反对称矩阵．
选项
答案
利用反对称矩阵及正交矩阵的定义A
T
=一A及AA
T
=A
T
A=E证之． 证 (Ⅰ)因(E—A)(E+A)=E一A
2
=(E+A)(E—A)， 在上式两边分别左乘、右乘(E+A)
-1
得到 (E+A)
-1
(E—A)(E+A)(E+A)
-1
=(E+A)
-1
(E+A)(E—A)(E+A)
-1
， 即 (E+A)
-1
(E—A)=(E一A)(E+A)
-1
． (Ⅱ)下证[(E—A)(E+A)
-1
][(E—A)(E+A)
-1
]
T
=E．事实上，由A
T
=一A得到 [(E—A)(E+A)
-1
][(E—A)(E+A)
-1
]
T
=[(E—A)(E+A)
-1
][(E+A)
-1
]
T
(E—A)
T
=(E—A)(E+A)
-1
(E—A)
-1
(E+A) =(E+A)
-1
(E—A)(E—A)
-1
(E+A)， (利用(1)的结果(E—A)(E+A)
-1
=(E+A)(E—A))=E·E=E．) 故(E—A)(E+A)
-1
为正交矩阵． (Ⅲ)下证[(E—A)(E+A)
-1
]
T
=一(E一A)(E+A)
-1
．利用AA
T
=A
T
A=E及
-1
=A
T
得到 [(E—A)(E+A)
-1
]
T
=[(E+A)
-1
]
T
(E一A)
T
=[(E+A)
T
]
-1
(E—A
T
) =(E+A
T
)
-1
(E—A
T
)=(E+A
-1
)
-1
(E一A
-1
)=(A
-1
A+A
-1
)
-1
(E—A
-1
) =[A
-1
(A+E)]
-1
(E—A
-1
)=(A+E)
-1
A(E—A
-1
) =(A+E)
-1
(A—E)=一(A+E)
-1
(E—A)=一(E—A)(E+A)
-1
， (利用(Ⅰ)的结果(E+A)
-1
(E—A)=(E—A)(E+A)
-1
) 故(E—A)(E+A)
-1
为反对称矩阵．
解析
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考研数学二
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