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设函数f(x,y)在点(0,0)处连续,且 (1)求,并讨论它们在点(0,0)处是否可微,若可微求出df(x,y)|(0,0); (2)证明:f(x,y)在点(0,0)处取得极小值.
设函数f(x,y)在点(0,0)处连续,且 (1)求,并讨论它们在点(0,0)处是否可微,若可微求出df(x,y)|(0,0); (2)证明:f(x,y)在点(0,0)处取得极小值.
admin
2022-07-21
103
问题
设函数f(x,y)在点(0,0)处连续,且
(1)求
,并讨论它们在点(0,0)处是否可微,若可微求出df(x,y)|
(0,0)
;
(2)证明:f(x,y)在点(0,0)处取得极小值.
选项
答案
(1)当(x,y)→(0,0)时,ln(1+x
2
+y
2
)~x
2
+y
2
,由已知得[*]=1/2,进而[*],再由f(x,y)在(0,0)处连续得f(0,0)=[*]=2.由极限与无穷小的关系可知[*].从而 f(x,y)-f(0,0)=[*]x
2
+[*]y
2
+o(ρ) 由函数可微的定义知,f(x,y)在(0,0)处可微,并且有df(x,y)|
(0,0)
=0,从而[*](2)由(1)知f(0,0)=2,于是由已知条件 [*] 再由极限的局部保号性质知,存在正数δ,当0<x
2
+y
2
<δ
2
时, [*] 即f(x,y)-f(0,0)>0.因此,f(x,y)在点(0,0)处取极小值.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IRR4777K
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考研数学三
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