2. 考研
  3. 设函数f(x，y)在点(0，0)处连续，且 (1)求，并讨论它们在点(0，0)处是否可微，若可微求出df(x，y)｜(0，0)； (2)证明：f(x，y)在点(0，0)处取得极小值．

设函数f(x，y)在点(0，0)处连续，且 (1)求，并讨论它们在点(0，0)处是否可微，若可微求出df(x，y)｜(0，0)； (2)证明：f(x，y)在点(0，0)处取得极小值．

admin2022-07-21  115
问题 设函数f(x，y)在点(0，0)处连续，且
    (1)求，并讨论它们在点(0，0)处是否可微，若可微求出df(x，y)｜(0，0)；
    (2)证明：f(x，y)在点(0，0)处取得极小值．
选项
答案(1)当(x，y)→(0，0)时，ln(1+x2+y2)～x2+y2，由已知得[*]=1/2，进而[*]，再由f(x，y)在(0，0)处连续得f(0，0)=[*]=2．由极限与无穷小的关系可知[*]．从而 f(x，y)-f(0，0)=[*]x2+[*]y2+o(ρ) 由函数可微的定义知，f(x，y)在(0，0)处可微，并且有df(x，y)｜(0，0)=0，从而[*](2)由(1)知f(0，0)=2，于是由已知条件 [*] 再由极限的局部保号性质知，存在正数δ，当0＜x2+y2＜δ2时， [*] 即f(x，y)-f(0，0)＞0．因此，f(x，y)在点(0，0)处取极小值．
解析
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考研数学三

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