设为实矩阵,在下列条件中: ①|A|<0; ②b=c; ③a=d; ④r(A)=1. 能确定A可相似对角化的是( ).

admin2021-07-27  25

问题为实矩阵,在下列条件中:
①|A|<0;
②b=c;
③a=d;
④r(A)=1.
能确定A可相似对角化的是(          ).

选项 A、①,②
B、②,③
C、③,④
D、①,④

答案A

解析 判断矩阵能否相似对角化有多个角度和条件,对n阶矩阵A而言,关键是看矩阵A是否有n个线性无关的特征向量,或对A的k重特征根λk,是否有r(λkE-A)=n-k.另外,A能够相似对角化的充分条件是A有n个互不相等的特征值或A为实对称矩阵.本题具体分析如下:
条件①|A|<0表明A的两个特征值异号,必不相等,因此,A能相似对角化;
条件②b=c表明A为实对称矩阵,也能相似对角化;
条件③a=d和条件④,r(A)=1,均不能说明A能相似对角化.综上分析,选项(A)正确.
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