设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵(n＜m)，且AB =En．证明：B的列向量组线性无关．

admin2019-08-12 35

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵(n＜m)，且AB =E_n．证明：B的列向量组线性无关．

选项

答案设B按列分块为B=[β₁ β₂ … β_n]，设有一组数x₁，x₂，…，x_n，使x₁β₁+x₂β₂+…+x_nβ_n=0，即BX=0，其中X=[x₁，x₂，…，x_n]^T，两端左乘A，得ABX=0，即X=0．故β₁，β₂，…，β_n线性无关． n=秩(E_n)=秩(AB)≤秩(B)≤n，[*]B的列线性无关．

解析

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