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设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2, 记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2, 记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
admin
2017-12-29
86
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,
记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
;
(Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
选项
答案
(Ⅰ)f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=2(x
1
,x
2
,x
3
)[*](a
1
,a
2
,a
3
)[*]+(x
1
,x
2
,x
3
)[*](b
1
,b
2
,b
3
)[*] =(x
1
,x
2
,x
3
)(2αα
T
)[*]+(x
1
,x
2
,x
3
)(ββ
T
)[*] =(x
1
,x
2
,x
3
)(2αα
T
+ββ
T
)[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
。 (Ⅱ)设A=2αα
T
+ββ
T
,由于|α|=1,α
T
β=β
T
α=O,则 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α|α|
2
+ββ
T
α=2α, 所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量; Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
β+β|β|
2
=β, 所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2, 所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IhX4777K
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考研数学三
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