设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-12-29 74

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² =2（x₁，x₂，x₃）[*]（a₁，a₂，a₃）[*]+（x₁，x₂，x₃）[*]（b₁，b₂，b₃）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T）[*]+（x₁，x₂，x₃）（ββ^T）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T+ββ^T）[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=O，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α|²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β|²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ββ^T）≤r（2αα^T）+r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学三

设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dt=0．

计算(a＞0是常数)．

求二重积分其中D是由曲线，直线y=2，y=x所围成的平面区域．

设f(x)=，求曲线y=f(x)与直线y=所围成平面图形绕Ox轴旋转所成旋转体的体积．

求级数

求二阶常系数线性微分方程y"+λy’=2x+1的通解，其中λ为常数．

微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=________．

函数y=Cx+(其中C是任意常数)对微分方程=x而言，()

设，求实对称矩阵B，使A=B2．

平面区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，计算如下二重积分：其中放(t)为定义在(一∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；

在下列情况中，对测定结果产生负误差的是（）。

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“在整个社会主义初级和实现社会主义现代化的全过程中，都要坚持两手抓，两手都要硬的方针，绝不能一手硬一手软，也不能一段时间硬，一段时间软。”在这里，两手抓是指()。

一台交换机具有24个10／100Mbps全双工端口和2个1000Mbps全双工端口，如果所有端口都工作在全双工状态，那么该交换机总带宽为()。

ThereasonswhythechurchwantedtoburnHarryPotterbooksdidn’tincludethat______.

A、Theassignmentlooksquiteeasy.B、Heisalsoworriedabouttheassignment.C、Hehasalreadyfinishedtheassignment.D、Hecan

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