设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-12-29 48

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² =2（x₁，x₂，x₃）[*]（a₁，a₂，a₃）[*]+（x₁，x₂，x₃）[*]（b₁，b₂，b₃）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T）[*]+（x₁，x₂，x₃）（ββ^T）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T+ββ^T）[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=O，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α|²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β|²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ββ^T）≤r（2αα^T）+r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IhX4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学三

设A是三阶矩阵，λ1=1，λ2=2，λ3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是ξ1=[2，2，一1]T，ξ2=[一1．，2，2]T，ξ3=[2，一1，2]T．又β=[1，2，3]T．计算：Anβ．

计算(a＞0是常数)．

已知则I=()

随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0．09的概率．

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

已知一2是的特征值，其中b≠0是任意常数，则x=________．

求微分方程(4一x+y)dx一(2一x—y)dy=0的通解．

以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是________．

微分方程y″＋y′＝x2的特解形式为__________．

设f（t）连续并满足f（t）=cos2t+∫0xf（t）sinsds，求f（t）。

“计件工资奖励工资”的提出者是()

Junglecountryisnotfriendlytoman,butitispossibletosurvivethere.Youmusthavetheright【21】andyoumustknowafewi

A．控制系统B．受控系统C．反馈信息D．控制信息动脉壁上的压力感受器感受动脉血压变化，使相应的传入神经产生的动作电位可看作是

不能用于检测血清总IgE的是()

以下费用中，属于监理直接成本的有(　　)。

平硐开拓方式与立井、斜井开拓方式的主要区别是()。

A、64B、72C、80D、88D(左下数字－右上数字)×(左上数字－右下数字)=中间数字。(14－3)×(18－10)=(88)，故本题选D。

茶树：茶叶：茶水

设L是圆域x2＋y2≤－2x的正向边界曲线，则(x3－y)dx＋(x－y3)dy等于()。

ThephotographertimedhisvisittoIndonesiato______withtheharvestfestivalthattakesplaceeachyearthroughoutthecoun

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学三

设A是三阶矩阵，λ1=1，λ2=2，λ3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是ξ1=[2，2，一1]T，ξ2=[一1．，2，2]T，ξ3=[2，一1，2]T．又β=[1，2，3]T．计算：Anβ．

计算(a＞0是常数)．

已知则I=()

随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0．09的概率．

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

已知一2是的特征值，其中b≠0是任意常数，则x=________．

求微分方程(4一x+y)dx一(2一x—y)dy=0的通解．

以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是________．

微分方程y″＋y′＝x2的特解形式为__________．

设f（t）连续并满足f（t）=cos2t+∫0xf（t）sinsds，求f（t）。

“计件工资奖励工资”的提出者是()

Junglecountryisnotfriendlytoman,butitispossibletosurvivethere.Youmusthavetheright【21】andyoumustknowafewi

A．控制系统B．受控系统C．反馈信息D．控制信息动脉壁上的压力感受器感受动脉血压变化，使相应的传入神经产生的动作电位可看作是

不能用于检测血清总IgE的是()

以下费用中，属于监理直接成本的有( )。

平硐开拓方式与立井、斜井开拓方式的主要区别是()。

A、64B、72C、80D、88D(左下数字－右上数字)×(左上数字－右下数字)=中间数字。(14－3)×(18－10)=(88)，故本题选D。

茶树：茶叶：茶水

设L是圆域x2＋y2≤－2x的正向边界曲线，则(x3－y)dx＋(x－y3)dy等于()。

ThephotographertimedhisvisittoIndonesiato______withtheharvestfestivalthattakesplaceeachyearthroughoutthecoun

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

以下费用中，属于监理直接成本的有(　　)。