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已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若α1+2α2-α3=β,α1+α2+α3+α4=β,2α1+3α2+α3+2α4=β,k1,k2为任意常数,那么Aχ=β通解为( )
已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若α1+2α2-α3=β,α1+α2+α3+α4=β,2α1+3α2+α3+2α4=β,k1,k2为任意常数,那么Aχ=β通解为( )
admin
2017-03-08
100
问题
已知4阶方阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,其中α
1
,α
2
线性无关,若α
1
+2α
2
-α
3
=β,α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=β,2α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
=β,k
1
,k
2
为任意常数,那么Aχ=β通解为( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
由α
1
+2α
2
-α
3
=β知
即γ
1
=(1,2,-1,0)
T
是Aχ=β的解.同理γ
2
=(1,1,1,1)
T
,γ
3
(2,3,1,2)
T
也均是Aχ=B的解,那么
η
1
=γ
1
-γ
2
=(0,1,-2,-1)
T
,
η
2
=γ
3
-γ
2
=(1,2,0,1)
T
是导出组Aχ=0的解,并且它们线性无关.于是Aχ=0至少有两个线性无关的解向量,有n-r(A)≥2,即r(A)≤2,又因为α
1
,α
2
线性无关,有r(A)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)≥2.所以必有r(A)=2,从而n-r(A)=2,因此η
1
,η
2
就是Aχ=0的基础解系,根据解的结构,所以应选B.
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考研数学一
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