已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若α1+2α2-α3=β,α1+α2+α3+α4=β,2α1+3α2+α3+2α4=β,k1,k2为任意常数,那么Aχ=β通解为( )

admin2017-03-08  28

问题 已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若α1+2α2-α3=β,α1+α2+α3+α4=β,2α1+3α2+α3+2α4=β,k1,k2为任意常数,那么Aχ=β通解为(    )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析 由α1+2α2-α3=β知

    即γ1=(1,2,-1,0)T是Aχ=β的解.同理γ2=(1,1,1,1)T,γ3(2,3,1,2)T也均是Aχ=B的解,那么
    η1=γ1-γ2=(0,1,-2,-1)T
    η2=γ3-γ2=(1,2,0,1)T
是导出组Aχ=0的解,并且它们线性无关.于是Aχ=0至少有两个线性无关的解向量,有n-r(A)≥2,即r(A)≤2,又因为α1,α2线性无关,有r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2.所以必有r(A)=2,从而n-r(A)=2,因此η1,η2就是Aχ=0的基础解系,根据解的结构,所以应选B.
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