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[2011年]已知当x→0时,函数f(x)=3 sinx一sin3x与cxk是等价无穷小量,则( ).
[2011年]已知当x→0时,函数f(x)=3 sinx一sin3x与cxk是等价无穷小量,则( ).
admin
2021-01-25
76
问题
[2011年]已知当x→0时,函数f(x)=3 sinx一sin3x与cx
k
是等价无穷小量,则( ).
选项
A、k=1,c=4
B、k=1,c=-4
C、k=3,c=4
D、k=3,c=-4
答案
C
解析
解一 直接多次使用洛必达法则,得到
显然当k-2=1即k=3时,有
则
故c=4.于是仅(C)入选.
解二利用泰勒展开式求之.
当x→0时,sinx=x-x
3
/6+o(x
3
), sin3x=3x-(3x)
3
/6+o(x
3
),
于是 3sinx-sin3x=3[x-x
3
/6+o(x
3
)]-[3x-(9/2)x
3
+o(x
3
)]=4x
3
+o(x
3
),
则
当k=3时,
而
即4/c=1,故c=4.仅(C)入选.
解三 由题设有
即c=4.故当k=3,c=4时,f(x)与4x
3
是等价无穷小量.仅(C)入选.
注:命题1.1.3.1(2)当x→0时,有x-sinx~x
3
/6;1-cos
λ
~λx
2
(λ为常数).
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考研数学三
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