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  3. 设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z=X+2Y． (1)求Z的概率密度； (2)求E(Z)，D(Z)．

设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z=X+2Y． (1)求Z的概率密度； (2)求E(Z)，D(Z)．

admin2020-05-16  62
问题 设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z=X+2Y．
(1)求Z的概率密度；
(2)求E(Z)，D(Z)．
选项
答案由题设X，Y相互独立，且 [*] 先求Z的分布函数(参考右图)． 为此将f(x，y)取正值的区域的两个边界点(0，0)，(2，0)分别代入z=x+2y得到z=0， z=2．因而对z需分z≤0，0＜z＜2，z≥2，三种情况讨论： 当z≤0时，Fz(z)=0； 当0＜z＜2时， Fz(z)=P(X+2Y≤z)=[*] [*] (2)直接用期望、方差的运算性质计算．由于 E(X)=1， D(X)=[*] 且X，Y相互独立，故 E(Z)=E(X+2y)=E(X)+2E(Y)=1+1=2， D(Z)=D(X+2Y)=D(X)+4D(Y)=[*]
解析 (1)先求Z的分布函数，根据Z的取值范围分段求出，再求概率密度．
(2)利用X，Y的期望和方差的运算法则求之，不宜用Z的密度函数用定义法求E(Z)和D(Z)．
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考研数学三

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