设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x－a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x－a的n－1阶无穷小．

admin2019-08-12 31

问题设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x－a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x－a的n－1阶无穷小．

选项

答案f(x)在x=a可展开成 [*] 由x→a时f(x)是(x－a)的n阶无穷小 => f(a)=f’(a)=…=f^(n－1)(a)=0，f⁽ⁿ⁾(a)≠0．又f(x)在x=a邻域(n－1)阶可导，f^(n－1)(x)在x=a可导．由g(x)=f’(x)在x=a处n－1阶可导 => g(x)=g(a)+g’(a)(x－a)+…+[*]g^(n－1)(a)(x－a)^n－1+o((x－a)^n－1)， [*] 因此f’(x)是x－a的n－1阶无穷小(x→a)．

解析

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