2. 公务员
  3. 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点。 (1)若，求k的值； (2)求四边形AEBF面积的最大值。

设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点。 (1)若，求k的值； (2)求四边形AEBF面积的最大值。

admin2019-05-05  24
问题 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点。
  (1)若，求k的值；
  (2)求四边形AEBF面积的最大值。
选项
答案(1)依题可得，椭圆的方程为[*]+y2=1，直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx(k＞0)，如图所示。 设D(x0，kx0)，F(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2。 联立方程组[*]化简得(1+4k2)x2=4。 由题意知，x1，x2满足方程(1+4k2)x2=4， 则x2=—x1=[*]。① 由[*]知x0一x1=6(x—x0)， 得x0=[*] 由D在AB上知x0+2kx0=2，得x0=[*] 故[*] 化简得24k2一25k+6=0， [*] (2)由题知｜BO｜=1，｜AO｜=2。 设y1=kx1，y2=kx2。 由①得x2＞0，y2=一y1＞0， 故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=[*]， 当x2=2y2时取等号，因此S的最大值为[*]。
解析
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