(12年)已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (I)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形.

admin2017-04-20  25

问题 (12年)已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.
(I)求实数a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形.

选项

答案(I)因为r(ATA)=r(A),对A施以初等行变换 [*] 可见当a=一1时,r(A)=2,所以a=一1. (Ⅱ)由于a=一1,所以ATA=[*]矩阵ATA的特征多项式为 [*] =(λ一2)(λ2一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得ATA的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0. 对于λ1=2.由求方程组

解析
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