2. 考研
  3. 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai=(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型?

设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai=(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型?

admin2013-09-03  71
问题 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai=(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型?
选项
答案本题有以下两种较为简单的解法： (I)由题设，任给x1，x2，…，xn，都有f(x1，x2，…，xn)≥0， 因此，f(x1，x2，…，xn)=0当且仅当[*] 该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式不为0， [*] 因此，当1+(-1)n+1a1a2…an≠0时，任给不全为零的x1，x2，…，xn， 都有f(x1，x2，…，xn)＞0，即当a1a2…an≠(-1)n时，f(x1，x2，…，xn)为正定二次型． (Ⅱ)令[*]，此线性变换的矩阵的行列式与(Ⅰ)中行列式相同， 因此当a1a2…an≠(-1)n时，此线性变换可逆，记其逆变换为x=py， 可化原二次型为标准形：y12+y22+…+n2， 由于正惯性指数为n，可知原二次型为正定二次型．
解析
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考研数学一

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