2. 考研
  3. 设有齐次线性方程组AX=0和βX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解； ③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④若秩(

设有齐次线性方程组AX=0和βX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解； ③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④若秩(

admin2021-01-19  59
问题  设有齐次线性方程组AX=0和βX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：
①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)；
②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解；
③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)；
④若秩(A)=秩(B)，则AX=0与BX=0同解．
以上命题中正确的是(    )．
选项 A、①②
B、①③   
C、②④
D、③④
答案B
解析 利用线性方程组同解的基本性质判别之．
仅(B)入选．由命题2．4．7．2知，命题③正确．又命题①也正确，这是因为AX=0的解均是BX=0的解，则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分，因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数，即
    n一秩(A)≤n一秩(B)，秩(A)≥秩(B)．
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考研数学二

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