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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。
admin
2019-04-22
67
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4一x一y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。
选项
答案
先求在D内的驻点,即 [*] 解得 [*] 因此在D内只有驻点[*]相应的函数值为f(2,1)=4。 再求f(x,y)在D边界上的最值: ①在x轴上y=0,所以f(x,0)=0; ②在y轴上x=0,所以f(0,y)=0; ③在x+y=6上,将y=6一x代入f(x,y)中,得 f(x,y)=2x
2
(x一6), 因此f’
x
=6x
2
—24x=0,得x=0(舍),x=4。所以y=6一x=2。 于是得驻点[*] 相应的函数值f(4,2)=x
2
y(4一x一y)|
(4,2)
=一64。 综上所述,最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=一64。
解析
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考研数学二
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