设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则( )．

admin2022-09-22 22

问题设函数f(x)=

若反常积分∫₁^+∞f(x)dx收敛，则( )．

选项 A、a＜-2
B、α＞2
C、-2＜a＜0
D、0＜α＜2

答案D

解析 ∫₁^+∞f(x)dx=∫₁^ef(x)dx+∫_e^+∞f(x)dx．
由∫₁^+∞f(x)dx收敛，可知∫₁^ef(x)出与∫_e^+∞f(x)dx均收敛．
∫₁^ef(x)dx=∫₁^e

dx，由于x=1是瑕点，要使该积分收敛，必有α-1＜1，即α＜2．
∫_e^+∞f(x)dx=∫_e^+∞

(ln x)^-α｜_e^+∞，要使其收敛，则α＞0．
综上可知，0＜α＜2，故D项正确．

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