由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及χ轴围成平面图形的面积5＝_______．

admin2020-03-10 112

问题由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及χ轴围成平面图形的面积5＝_______．

选项

答案3πa²

解析当t∈[0，π]时，曲线与χ轴的交点是χ＝0，2πa(相应于t＝0，2，π)，曲线在χ轴上方，见图3．26．于是图形的面积
S＝∫₀^2πay(χ)dχ

∫₀^2πa(1－cost)[a(t－sint)]′dt
＝∫₀^2πa²(1－cos)dt＝a²∫₀^2π(1－2cost＋cos²t)dt＝3πa²．

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