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已知椭圆(a>b>0)离心率是,若左焦点到直线距离为4。 过点P(0,3)的直线与椭圆交于不同两点M,N(M在P和N之间),记,求λ的取值范围。
已知椭圆(a>b>0)离心率是,若左焦点到直线距离为4。 过点P(0,3)的直线与椭圆交于不同两点M,N(M在P和N之间),记,求λ的取值范围。
admin
2015-12-09
28
问题
已知椭圆
(a>b>0)离心率是
,若左焦点到直线
距离为4。
过点P(0,3)的直线与椭圆交于不同两点M,N(M在P和N之间),记
,求λ的取值范围。
选项
答案
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),若直线PM斜率不存在,则有M(0,2),N(0,-2),此时[*]。 若直线PM斜率存在,设为k,不妨设k>0,则直线PM的方程为y=kx+3, 联立方程组[*] 得(4+9k
2
)x
2
+54kx+45=0,△=1296k
2
-720,x=
1,2
=[*], 由假设k>0得, [*] 分析上式知λ随k的增大而减小。当直线PM与椭圆相切时,M,N重合,λ达到最大值,λ
max
=1,但根据题意,直线与椭圆交于不同两点M,N,所以这个最大值取不到。当直线斜率不存在时,λ有最小值,λ
min
=[*]。综上所述λ的范围是[*]。
解析
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