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  3. 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T 求方程组(1)的一个基础解系；当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零

设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T 求方程组(1)的一个基础解系；当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零

admin2016-05-31  41
问题 设四元齐次线性方程组(1)为

而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
    α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T
求方程组(1)的一个基础解系；当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解．
选项
答案(Ⅰ)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 由于n-r(A)=4-2=2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取x3，x4为自由变量，得 β1=(5，-3，1，0)T，β2=(-3，2，0，1)T是方程组(1)的基础解系． (Ⅱ)设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数． 由k1β1+k2β2-l1α1-l2α2=0，得齐次方程组(3) [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 如果a≠-1，则(3)→[*]那么方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=2=0，于是η=0，不合题意． 当a=-1时，方程组(3)系数矩阵变形为[*]，解出k1=l1+4l2，k2=l1+7l2 于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2 所以a=-1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是 l1(2，-1，1，1)T+l2(-1，2，4，7)T，l1，l2为任意常数．
解析
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考研数学三

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