设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

admin2016-09-30  21

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得
    f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

选项

答案令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt,显然φ(x)在[a,b]上可导,又φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt,所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0,即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

解析
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