设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值，且其重数至少是．

admin2017-05-10 103

问题设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值__________，且其重数至少是__________．

选项

答案r(A)＜n→｜A｜→λ=0是A的特征值;η_j(j=1，2，…，n—r(A))

解析 r(A)＜n→｜A｜→λ=0必是A的特征值．由r(A)＜n→Ax=0有非0解．设η₁，η₂，…，η_n-r(A)是Ax=0的基础解系，则Aη_i=0=0η_i，即
η_j(j=1，2，…，n—r(A))是λ=0的特征向量.因此λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ=0至少是矩阵A的n一r(A)重特征值．注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．

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