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设A是n阶矩阵,r(A)<n,则A必有特征值__________,且其重数至少是__________.
设A是n阶矩阵,r(A)<n,则A必有特征值__________,且其重数至少是__________.
admin
2017-05-10
103
问题
设A是n阶矩阵,r(A)<n,则A必有特征值__________,且其重数至少是__________.
选项
答案
r(A)<n→|A|→λ=0是A的特征值;η
j
(j=1,2,…,n—r(A))
解析
r(A)<n→|A|→λ=0必是A的特征值.由r(A)<n→Ax=0有非0解.设η
1
,η
2
,…,η
n-r
(A)是Ax=0的基础解系,则Aη
i
=0=0η
i
,即
η
j
(j=1,2,…,n—r(A))是λ=0的特征向量.因此λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量.从而λ=0至少是矩阵A的n一r(A)重特征值.注意:k重特征值至多有k个线性无关的特征向量.
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考研数学三
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