已知矩阵相似．求： (I)x，y的值． (Ⅱ)可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2020-09-25 78

问题已知矩阵

相似．求：
(I)x，y的值．
(Ⅱ)可逆矩阵P，使得P^-1AP=B．

选项

答案(I)由于A～B，则tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即[*] (Ⅱ)先求可逆矩阵P₁，使得P₁^-1AP₁为对角矩阵．由题意知A，B的特征值均为一2，2，一1．由(一2E—A)x=0解出A的属于特征值-2的一个特征向量ξ₁=(一1，2，4)^T．由(2E一A)x=0解出A的属于特征值2的一个特征向量ξ₂=(一1，2，0)^T．由(一E—A)x=0解出A的属于特征值一1的一个特征向量ξ₃=(一2，1，0)^T．令可逆矩阵P₁=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*]，则P₁^-1AP₁=[*] 再求可逆矩阵P₂，使得P₂^-1BP₂=[*]为此需求B的一组特征向量．由(一2E一B)x=0解出B的属于特征值一2的一个特征向量η₁=(0，0，1)^T．由(一2E—B)x=0解出B的属于特征值2的一个特征向量η₂=(1，0，0)^T．由(一E—B)x=0解出B的属于特征值一1的一个特征向量η₃=(-1，3，0)^T．令可逆矩阵P₂=(η₁，η₂，η₃)=[*]，则P₂^-1BP₂=[*]=P₁^-1AP₁．等式两边同时左乘P₂，再右乘P₂^-1可得，P₂P₁^-1AP₁P₂^-1=B．令P=P₁P₂^-1，则有P^-1AP=B，计算可得 [*]

解析

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考研数学三

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