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已知矩阵相似.求: (I)x,y的值. (Ⅱ)可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
已知矩阵相似.求: (I)x,y的值. (Ⅱ)可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
admin
2020-09-25
66
问题
已知矩阵
相似.求:
(I)x,y的值.
(Ⅱ)可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B.
选项
答案
(I)由于A~B,则tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即[*] (Ⅱ)先求可逆矩阵P
1
,使得P
1
-1
AP
1
为对角矩阵.由题意知A,B的特征值均为一2,2,一1. 由(一2E—A)x=0解出A的属于特征值-2的一个特征向量ξ
1
=(一1,2,4)
T
. 由(2E一A)x=0解出A的属于特征值2的一个特征向量ξ
2
=(一1,2,0)
T
. 由(一E—A)x=0解出A的属于特征值一1的一个特征向量ξ
3
=(一2,1,0)
T
. 令可逆矩阵P
1
=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*],则P
1
-1
AP
1
=[*] 再求可逆矩阵P
2
,使得P
2
-1
BP
2
=[*]为此需求B的一组特征向量. 由(一2E一B)x=0解出B的属于特征值一2的一个特征向量η
1
=(0,0,1)
T
. 由(一2E—B)x=0解出B的属于特征值2的一个特征向量η
2
=(1,0,0)
T
. 由(一E—B)x=0解出B的属于特征值一1的一个特征向量η
3
=(-1,3,0)
T
. 令可逆矩阵P
2
=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则P
2
-1
BP
2
=[*]=P
1
-1
AP
1
. 等式两边同时左乘P
2
,再右乘P
2
-1
可得,P
2
P
1
-1
AP
1
P
2
-1
=B. 令P=P
1
P
2
-1
,则有P
-1
AP=B,计算可得 [*]
解析
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0
考研数学三
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