已知A为三阶方阵，且满足A2一A一2E=O，行列式0

admin2020-07-02 65

问题已知A为三阶方阵，且满足A²一A一2E=O，行列式0<｜A｜<5，则行列式｜A+2E｜=_____．

选项

答案4

解析设A为A的任一特征值，对应特征向量为x≠0．由Ax=λx，有(A²一A一2E)x=0，即(λ²一λ一2)x=O，从而有λ²一λ一2=0，即λ=一1或λ=2．又根据｜A｜=λ₁λ₂λ₃，A_i为A的特征值(i=l，2，3)，及0<｜A｜<5，知必有λ₁=λ₂=一1，λ₃=2．进而由Ax_i=λ_ix_i，有(A+2E)x_i=(λ_i+2)λ_i，x_i属于λ_i的特征向量，可见A+2E的三个特征值为μ_i=λ_i+2，即μ₁=μ₂=1，μ₃=4，故行列式｜A+2E｜=u₁u₂u₃=｜.｜4=4

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