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已知A为三阶方阵,且满足A2一A一2E=O,行列式0
已知A为三阶方阵,且满足A2一A一2E=O,行列式0
admin
2020-07-02
72
问题
已知A为三阶方阵,且满足A
2
一A一2E=O,行列式0<|A|<5,则行列式|A+2E|=_____.
选项
答案
4
解析
设A为A的任一特征值,对应特征向量为x≠0.由Ax=λx,有(A
2
一A一2E)x=0,即(λ
2
一λ一2)x=O,从而有λ
2
一λ一2=0,即λ=一1或λ=2.又根据|A|=λ
1
λ
2
λ
3
,A
i
为A的特征值(i=l,2,3),及0<|A|<5,知必有λ
1
=λ
2
=一1,λ
3
=2.进而由Ax
i
=λ
i
x
i
,有(A+2E)x
i
=(λ
i
+2)λ
i
,x
i
属于λ
i
的特征向量,可见A+2E的三个特征值为μ
i
=λ
i
+2,即μ
1
=μ
2
=1,μ
3
=4,故行列式|A+2E|=u
1
u
2
u
3
=|.|4=4
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考研数学三
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