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  3. 已知A为三阶方阵，且满足A2一A一2E=O，行列式0

已知A为三阶方阵，且满足A2一A一2E=O，行列式0

admin2020-07-02  49
问题 已知A为三阶方阵，且满足A2一A一2E=O，行列式0<｜A｜<5，则行列式｜A+2E｜=_____．
选项
答案4
解析 设A为A的任一特征值，对应特征向量为x≠0．由Ax=λx，有(A2一A一2E)x=0，即(λ2一λ一2)x=O，从而有λ2一λ一2=0，即λ=一1或λ=2．又根据｜A｜=λ1λ2λ3，Ai为A的特征值(i=l，2，3)，及0<｜A｜<5，知必有λ1=λ2=一1，λ3=2．进而由Axi=λixi，有(A+2E)xi=(λi+2)λi，xi属于λi的特征向量，可见A+2E的三个特征值为μi=λi+2，即μ1=μ2=1，μ3=4，故行列式｜A+2E｜=u1u2u3=｜.｜4=4
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考研数学三

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