2. 考研
  3. 设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．

设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．

admin2017-08-31  25
问题 设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．
选项
答案令h=[*]，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性． 存在a＜c1＜c2＜…＜n－1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn－1)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)一f(a)=f’(ξ1)(c1一a)，ξ1∈(a，c1)， f(c2)一f(c1)=f’(ξ2)(c2一c1)，ξ1∈(c1，c2)，… f(b)一f(cn－1)=f’(ξn)(b一cn－1)，ξn∈(cn－1，b)， 从而有[*]=1．
解析
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考研数学一

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