设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a<b=f(b).证明:存在ξi∈(a,b)(i=1,2,…,n),使得=1.

admin2017-08-31  22

问题 设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a<b=f(b).证明:存在ξi∈(a,b)(i=1,2,…,n),使得=1.

选项

答案令h=[*],因为f(x)在[a,b]上连续且单调增加,且f(a)=a<b=f(b), 所以f(a)=a<a+h<…<a+(n-1)h<b=f(b),由端点介值定理和函数单调性. 存在a<c1<c2<…<n-1<b,使得f(c1)=a+h,f(c2)=a+2h,…,f(cn-1)=a+(n一1)h,再由微分中值定理,得 f(c1)一f(a)=f1)(c1一a),ξ1∈(a,c1), f(c2)一f(c1)=f2)(c2一c1),ξ1∈(c1,c2),… f(b)一f(cn-1)=fn)(b一cn-1),ξn∈(cn-1,b), 从而有[*]=1.

解析
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