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已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,α1,α2,α3,α4是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,又B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=α1-α2的通解.
已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,α1,α2,α3,α4是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,又B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=α1-α2的通解.
admin
2015-05-07
81
问题
已知A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)是4阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)
T
+k(1,-2,4,0)
T
,又B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
),求方程组Bx=α
1
-α
2
的通解.
选项
答案
由方程组Ax=β的解的结构,可知 r(A)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3, 且 α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β, α
1
-2α
2
+4α
3
=0. 因为B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
)=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
),且α
1
,α
2
,α
3
线性相关,而知秩r(B)=2. 由[*]=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
)[*]=α
1
-α
2
,知(0,-1,1,0)
T
是方程组Bx=α
1
-α
2
的一个解 又由[*]=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)[*]=4α
3
-2α
2
+α
1
=0,[*]=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)[*]=α
1
-2α
2
+4α
3
=0, 可知(4,-2,1,0)
T
,(2,-4,0,1)
T
是Bx=0的两个线性无关的解. 故Bx=α
1
-α
2
的通解是:(0,-1,1,0)
T
+k
1
(4,-2,1,0)
T
+k
2
(2,-4,0,1)
T
.
解析
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考研数学一
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