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  3. 已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?

已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?

admin2021-08-02  48
问题 已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?
选项
答案设该圆柱体的半径为x，高为y，则x+y=p，该圆柱体体积V=πyx2． 方法一 用拉格朗日乘数法，设 F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y—p)， 令[*]，有 2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y—P=0． 由上可解得唯一一组解[*]由于存在最大值，又解得唯一一组解，故当半径为[*]高为[*]时，该圆柱体体积最大． 方法二 化成一元函数极值问题． V=πyx2=π(p—x)x2=πpx2一πx3，0＜x＜p． V’=2πpx—3πx2， V”2πp—6πx． 令V’=0，得 [*] 所以当半径[*]时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当[*]时V最大．
解析
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考研数学二

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