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已知矩形的周长为2p,将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体),求该圆柱体的半径与高各为多少时,该圆柱体体积最大?
已知矩形的周长为2p,将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体),求该圆柱体的半径与高各为多少时,该圆柱体体积最大?
admin
2021-08-02
100
问题
已知矩形的周长为2p,将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体),求该圆柱体的半径与高各为多少时,该圆柱体体积最大?
选项
答案
设该圆柱体的半径为x,高为y,则x+y=p,该圆柱体体积V=πyx
2
. 方法一 用拉格朗日乘数法,设 F(x,y,λ)=πyx
2
+λ(x+y—p), 令[*],有 2πxy+λ=0,πx
2
+λ=0,x+y—P=0. 由上可解得唯一一组解[*]由于存在最大值,又解得唯一一组解,故当半径为[*]高为[*]时,该圆柱体体积最大. 方法二 化成一元函数极值问题. V=πyx
2
=π(p—x)x
2
=πpx
2
一πx
3
,0<x<p. V’=2πpx—3πx
2
, V”2πp—6πx. 令V’=0,得 [*] 所以当半径[*]时,体积V为极大值,且是唯一驻点,故当[*]时V最大.
解析
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考研数学二
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