设α=(1,一1,a)T,β=(1,a,2)T,A=E+αβT,且λ=3是矩阵A的特征值,则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

admin2019-01-05  42

问题 设α=(1,一1,a)T,β=(1,a,2)T,A=E+αβT,且λ=3是矩阵A的特征值,则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

选项

答案k(1,一1,1)T,k≠0

解析 令B=αβT,则矩阵B的秩是1,且βTα=a+1,由此可知矩阵B的特征值为a+1,0,0。那么A=E+B的特征值为a+2,1,1。
因为λ=3是矩阵A的特征值,所以a+2=3,即a=1。于是
Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α,
即α=(1,一1,1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量,也是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。
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