设α=（1，一1，a）T，β=（1，a，2）T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

admin2019-01-05 63

问题设α=（1，一1，a）^T，β=（1，a，2）^T，A=E+αβ^T，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

选项

答案k（1，一1，1）^T，k≠0

解析令B=αβ^T，则矩阵B的秩是1，且β^Tα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。
因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是
Bα=（αβ^T）α=α（β^Tα）=2α，
即α=（1，一1，1）^T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。

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