如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．当λ变化时，

admin2019-06-01 76

问题如图，已知椭圆C₁与C₂的中心在坐标原点O，长轴为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C₁，C₂的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记λ=

，△BDM和△ABN的面积分别为S₁和S₂．

当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂?并说明理由．

选项

答案设椭圆C₁：[*]=1(a＞m)，C₂：[*]=1，直线l：ky=x，[*]，同理可得y_B=[*]，又∵△BDM和△ABN的高相等．∴[*]，如果存在非零实数k使得S₁=λS₂，则有(λ－1)y_A=(λ+1)y_B，即：[*]，解得k²=[*]．∴当λ＞1+√2时，k²＞0，存在这样的直线l；当1＜λ≤1+√2时，k²≤0，不存在这样的直线l．

解析

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如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．当λ变化时，

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