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设函数f(x)在[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且fˊ(x)≠1,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.
设函数f(x)在[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且fˊ(x)≠1,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.
admin
2017-12-23
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问题
设函数f(x)在[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且fˊ(x)≠1,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.
选项
答案
令F(x)=f(x)-x,由题设可知F(x)在[0,1]上连续,又因0<f(x)<1,所以 F(0)=f(0)-0>0,F(1)=f(1)-1<0 由闭区间上连续函数的零点定理可知,在(0,1)内至少有一个x,使F(x)=0,即f(x)=x. 用反证法证F(x)在(0,1)内至多有一个零点. 若不然,x
1
,x2∈(0,1),x
1
<x
2
,使得 f(x
1
)=x
1
,f(x
2
)=x
2
由拉格朗日中值定理,至少存在一个x∈(x
1
,x)∈(0,1),使得 [*] 与题设矛盾.综上所述,命题得证.
解析
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考研数学二
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