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  3. 设函数f(x)在[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且fˊ(x)≠1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)＝x．

设函数f(x)在[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且fˊ(x)≠1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)＝x．

admin2017-12-23  57
问题 设函数f(x)在[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且fˊ(x)≠1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)＝x．
选项
答案令F(x)＝f(x)－x，由题设可知F(x)在[0，1]上连续，又因0＜f(x)＜1，所以 F(0)＝f(0)－0＞0，F(1)＝f(1)－1＜0 由闭区间上连续函数的零点定理可知，在(0，1)内至少有一个x，使F(x)＝0，即f(x)＝x． 用反证法证F(x)在(0，1)内至多有一个零点． 若不然，x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，使得 f(x1)＝x1，f(x2)＝x2 由拉格朗日中值定理，至少存在一个x∈(x1，x)∈(0，1)，使得 [*] 与题设矛盾．综上所述，命题得证．
解析
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考研数学二

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