2. 考研
  3. 设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xjxj． (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式； (Ⅱ)判断

设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xjxj． (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式； (Ⅱ)判断

admin2016-10-26  43
问题 设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xjxj．
(Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式；
(Ⅱ)判断二次型g(X)=XTAX与F(X)的规范形是否相同，并说明理由．
选项
答案(Ⅰ)因为r(A)=n，故A是可逆的实对称矩阵，于是(A－1)T=(AT)－1=A－1， 即A－1是实对称矩阵，那么[*]是对称的，因而A*是实对称矩阵，可见Aij=Aji(i，j=1，2，…，n)，于是 [*] 因此，二次型f的矩阵表示为XTA－1X，其二次型矩阵为A－1． (Ⅱ)因为A，A－1均是可逆的实对称矩阵，且(A－1)TAA－1=(A－1)TE=(AT)－1=A－1． 所以A与A－1合同．于是g(X)与f(X)有相同的规范形．
解析 按定义，若F(X)=XTBX，其中B是实对称矩阵，则XTBX就是二次型f的矩阵表示，而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致．
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考研数学一

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