设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xjxj． (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式； (Ⅱ)判断

admin2016-10-26 33

问题设A=(a_ij)是秩为n的n阶实对称矩阵，A_ij是｜A｜中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=

x_jx_j．
(Ⅰ)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，试写出二次型f(x₁，x₂，…，x_n)的矩阵形式；
(Ⅱ)判断二次型g(X)=X^TAX与F(X)的规范形是否相同，并说明理由．

选项

答案(Ⅰ)因为r(A)=n，故A是可逆的实对称矩阵，于是(A^－1)^T=(A^T)^－1=A^－1，即A^－1是实对称矩阵，那么[*]是对称的，因而A^*是实对称矩阵，可见A_ij=A_ji(i，j=1，2，…，n)，于是 [*] 因此，二次型f的矩阵表示为X^TA^－1X，其二次型矩阵为A^－1． (Ⅱ)因为A，A^－1均是可逆的实对称矩阵，且(A^－1)^TAA^－1=(A^－1)^TE=(A^T)^－1=A^－1．所以A与A^－1合同．于是g(X)与f(X)有相同的规范形．

解析按定义，若F(X)=X^TBX，其中B是实对称矩阵，则X^TBX就是二次型f的矩阵表示，而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致．

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考研数学一

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