设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵,Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)=xjxj. (Ⅰ)记X=(x1,x2,…,xn)T,试写出二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵形式; (Ⅱ)判断

admin2016-10-26  35

问题 设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵,Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)=xjxj
(Ⅰ)记X=(x1,x2,…,xn)T,试写出二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵形式;
(Ⅱ)判断二次型g(X)=XTAX与F(X)的规范形是否相同,并说明理由.

选项

答案(Ⅰ)因为r(A)=n,故A是可逆的实对称矩阵,于是(A-1)T=(AT)-1=A-1, 即A-1是实对称矩阵,那么[*]是对称的,因而A*是实对称矩阵,可见Aij=Aji(i,j=1,2,…,n),于是 [*] 因此,二次型f的矩阵表示为XTA-1X,其二次型矩阵为A-1. (Ⅱ)因为A,A-1均是可逆的实对称矩阵,且(A-1)TAA-1=(A-1)TE=(AT)-1=A-1. 所以A与A-1合同.于是g(X)与f(X)有相同的规范形.

解析 按定义,若F(X)=XTBX,其中B是实对称矩阵,则XTBX就是二次型f的矩阵表示,而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致.
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