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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: 存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2);
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: 存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2);
admin
2018-08-12
26
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,
证明:
存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2),且ξ
1
≠ξ
2
,使得f’(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2);
选项
答案
令h(x)=e
x
f(x),因为h(a)=h(c)=(n)=0,所以由罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0, 而h’(x)=e
x
[f’(x)+f(x)]且e
x
≠0,所以f’(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2).
解析
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考研数学二
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求
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