设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,当X取到x(0<x<1)时,随机变量Y等可能地在(x,1)上取值.试求: (Ⅰ)(X,Y)的联合概率密度; (Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数; (Ⅲ)P{X+Y>1}.

admin2016-10-26  30

问题 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,当X取到x(0<x<1)时,随机变量Y等可能地在(x,1)上取值.试求:
(Ⅰ)(X,Y)的联合概率密度;
(Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数;
(Ⅲ)P{X+Y>1}.

选项

答案(Ⅰ)根据题设X在(0,1)上服从均匀分布,其概率密度函数为 [*] 而变量Y,在X=x的条件下,在区间(x,1)上服从均匀分布,所以其条件概率密度为 [*] 再根据条件概率密度的定义,可得联合概率密度 [*] (Ⅱ)利用求得的联合概率密度,不难求出关于Y的边缘概率密度 [*] (Ⅲ)由图3.5可以看出 [*] [*]

解析 欲求密度函数,通常是先求分布函数,这对一维和二维随机变量都是一样的.但是本题所给的是X在(0,1)区间上服从均匀分布,而且条件“当X取到x(0<x<1)时,Y等可能地在(x,1)上取值”意味着,在X=x的条件下,Y在(x,1)上服从均匀分布,这相当于给出的是条件概率密度,所以可以直接写出联合概率密度.
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